Задача 1. Бросок вертикально вверхкинематика · два корня
Тело брошено вертикально вверх с начальной скоростью v₀ = 20 м/с. Через какое время после броска оно окажется на высоте h = 15 м? Сопротивление воздуха не учитывать, g = 10 м/с².
Решение
Высота при движении вверх с ускорением свободного падения: h = v₀t − gt²/2.
Подставим числа: 15 = 20t − 5t². Перенесём всё в одну сторону: 5t² − 20t + 15 = 0, и разделим на 5: t² − 4t + 3 = 0.
Дискриминант 16 − 12 = 4, корень 2. Тогда t = (4 ± 2)/2, то есть t = 1 с или t = 3 с.
Оба корня имеют физический смысл: высоту 15 м тело проходит дважды — сначала на подъёме (через 1 с), а затем на спуске (через 3 с). Полёт до этих моментов ещё продолжается: полное время подъёма v₀/g = 2 с, так что оба значения укладываются в траекторию.
Ответ: через 1 с (на подъёме) и через 3 с (на спуске).
Квадратное уравнение по времени часто даёт два физически осмысленных корня — тело проходит одну высоту дважды. Отбрасывать корень нужно, только если он отрицателен или выходит за время полёта.
Задача 2. Связанные грузы через блокдинамика · законы Ньютона
Груз массой m₁ = 3 кг лежит на гладком горизонтальном столе и связан лёгкой нерастяжимой нитью через невесомый блок на краю стола с грузом m₂ = 2 кг, висящим вертикально. Трения нет, g = 10 м/с². Найдите ускорение системы и силу натяжения нити.
Решение
Нить нерастяжима, блок и нить невесомы — значит оба груза движутся с одинаковым по модулю ускорением a, а натяжение нити T одинаково по обе стороны блока.
Запишем второй закон Ньютона для каждого груза. Для m₁ (движется по горизонтали, тянет только натяжение): T = m₁·a.
Для висящего m₂ (вниз тянет вес, вверх — натяжение): m₂·g − T = m₂·a.
Сложим оба уравнения, чтобы исключить T: m₂·g = (m₁ + m₂)·a. Отсюда a = m₂·g / (m₁ + m₂) = 2·10 / (3 + 2) = 20/5 = 4 м/с².
Теперь найдём натяжение из первого уравнения: T = m₁·a = 3·4 = 12 Н.
Проверка по второму грузу: m₂·g − T = 20 − 12 = 8 Н, и m₂·a = 2·4 = 8 Н — совпадает.
Ответ: ускорение a = 4 м/с², натяжение нити T = 12 Н.
Для связанных тел записывают закон Ньютона для каждого груза, затем складывают уравнения, чтобы исключить натяжение и найти ускорение, а после — возвращаются за силой натяжения.
