Разбор задач · олимпиада «Физтех» Математика · 10–11 классы
Олмат Консультация

Разбор · математика · «Физтех»

Разбор задач олимпиады «Физтех» по математике

Характерные задачи олимпиады «Физтех» по математике и техника их решения

Математика «Физтеха» узнаваема: аккуратные выкладки, доведение до числа и обязательный отбор корней. Ниже разобраны три характерные задачи — текстовая на работу, логарифмическое уравнение и тригонометрическая задача с отбором корней на отрезке. Решения приведены полностью: на очном этапе ценят именно обоснование.

Записаться на консультацию
Классы
10–11
Организатор
МФТИ
Уровень РСОШ
физика — I, математика — II
Что тренируем
техника + отбор корней

Коротко о формате математики «Физтеха»

Задания по математике на «Физтехе» — это техника: текстовые задачи, уравнения (логарифмы, тригонометрия, показательные), неравенства, планиметрия и стереометрия, задачи с параметром. Ответ почти всегда доводится до числа.

На заключительном этапе важны полные обоснованные решения, а не только ответ. Особое внимание — отбору корней: в тригонометрии и уравнениях с ОДЗ часть найденных значений нужно отсеять. Разберём три характерные задачи.

Разбор задач

Задача 1. Текстовая задача на работуалгебра · производительность

Каждый час первый рабочий делает на 3 детали больше, чем второй. Первый выполняет заказ из 216 деталей на 3 часа быстрее, чем второй — заказ из 189 деталей. Сколько деталей в час делает первый рабочий?

Решение

Введём производительность. Пусть первый делает x деталей в час (x > 3), тогда второй — x − 3.

Время работы — это объём, делённый на производительность. Первый тратит 216/x часов, второй — 189/(x − 3) часов. По условию первый справляется на 3 часа быстрее: 189/(x − 3) − 216/x = 3.

Умножим обе части на x(x − 3): 189x − 216(x − 3) = 3x(x − 3).

Раскроем скобки: 189x − 216x + 648 = 3x² − 9x, то есть −27x + 648 = 3x² − 9x.

Соберём всё в одну сторону: 3x² + 18x − 648 = 0, или после деления на 3: x² + 6x − 216 = 0.

Дискриминант: 36 + 864 = 900, корень 30. Тогда x = (−6 + 30)/2 = 12 (второй корень отрицателен и не подходит).

Проверка: первый — 216/12 = 18 часов, второй — 189/9 = 21 час, разница ровно 3 часа. Сходится.

Ответ: 12 деталей в час.

В задачах «на работу» удобно взять за неизвестное производительность, время выразить как объём ÷ производительность и приравнять по условию.

Задача 2. Логарифмическое уравнениелогарифмы · замена

Решите уравнение log2x + logx2 = 5/2.

Решение

Область допустимых значений: x > 0 и x ≠ 1 (основание логарифма logx2 не равно 1 и положительно).

Введём замену t = log2x. По свойству перехода к обратному основанию logx2 = 1/log2x = 1/t, причём t ≠ 0.

Уравнение принимает вид t + 1/t = 5/2. Умножим на 2t: 2t² − 5t + 2 = 0.

Дискриминант 25 − 16 = 9, корень 3. Тогда t = (5 + 3)/4 = 2 или t = (5 − 3)/4 = 1/2.

Возвращаемся к x. Если t = 2, то log2x = 2 и x = 4. Если t = 1/2, то log2x = 1/2 и x = 21/2 = √2.

Оба значения удовлетворяют ОДЗ (положительны и не равны 1).

Ответ: x = 4 или x = √2.

Замена t = logax превращает «логарифм плюс обратный логарифм» в квадратное уравнение относительно t.

Задача 3. Тригонометрия с отбором корнейтригонометрия · отбор корней

а) Решите уравнение 2sin²x − cos x − 1 = 0.
б) Найдите все его корни, принадлежащие отрезку [π; 2π].

Решение

а) Сведём всё к одной функции. Так как sin²x = 1 − cos²x, получаем 2(1 − cos²x) − cos x − 1 = 0, то есть 2 − 2cos²x − cos x − 1 = 0.

После упрощения: 2cos²x + cos x − 1 = 0. Обозначим c = cos x: 2c² + c − 1 = 0.

Дискриминант 1 + 8 = 9, корень 3. Тогда c = (−1 + 3)/4 = 1/2 или c = (−1 − 3)/4 = −1.

Возвращаемся к x. Из cos x = 1/2 получаем x = ±π/3 + 2πk; из cos x = −1 получаем x = π + 2πk, где k — целое.

б) Отберём корни на отрезке [π; 2π] (то есть примерно [3,14; 6,28]).

Из серии x = π + 2πk на отрезок попадает x = π.

Из серии cos x = 1/2 подходит x = −π/3 + 2π = 5π/3 ≈ 5,24 — оно лежит в [π; 2π]. Значения π/3 и π/3 + 2π в отрезок не попадают (одно меньше π, другое больше 2π).

Итого на отрезке [π; 2π] ровно два корня: π и 5π/3.

Ответ: а) x = ±π/3 + 2πk и x = π + 2πk, k ∈ ℤ. б) x = π и x = 5π/3.

Свести уравнение к одной тригонометрической функции, решить квадратное уравнение, а затем аккуратно отобрать корни на отрезке — типичная двухчастная задача «Физтеха».

Где взять реальные варианты

Реальные варианты «Физтеха» по математике с решениями и критериями — на официальных ресурсах МФТИ. Задания узнаваемы по стилю, поэтому прорешивать полезнее именно их.

Смотрите также

Подготовиться к олимпиаде

В Олмат готовим к олимпиаде «Физтех» по математике и физике: отрабатываем технику, доведение до числа и отбор корней, разбираем задания прошлых лет. Преподаватели — призёры и победители олимпиад. Первая консультация бесплатная.

Записаться на консультацию

Частые вопросы

Какого уровня математика на «Физтехе»?
Это техника старшей школы, доведённая до автоматизма: текстовые задачи, уравнения и неравенства (логарифмы, тригонометрия, показательные), планиметрия, стереометрия, задачи с параметром. Ответ, как правило, доводится до числа.
Почему так важен отбор корней?
В тригонометрии и уравнениях с ОДЗ часть найденных значений не подходит: они либо вне области допустимых значений, либо вне заданного отрезка. За потерю отбора на проверке снимают баллы, даже если основное решение верное.
Где взять реальные варианты?
На официальном сайте олимпиады МФТИ есть работы и примеры заданий прошлых лет с решениями и критериями (ссылки в разделе «Где взять реальные варианты»).

Другие разборы

Задачи в разборе — характерные для олимпиады «Физтех» по математике; решения авторские. Официальные варианты, решения и критерии по годам публикует МФТИ (ссылки выше).

Бесплатная консультация