Разбор задач для поступления в 5 класс физматшколы

Решение

Обозначим меньшую величину. Пусть у Васи x наклеек. Тогда у Пети их вдвое больше — 2x.

После того как Петя отдал 8 наклеек, у него стало 2x − 8, а у Васи — x + 8. По условию их поровну, значит 2x − 8 = x + 8.

Перенесём x влево, а числа вправо: 2x − x = 8 + 8, то есть x = 16.

Значит у Васи 16 наклеек, у Пети — 2 · 16 = 32.

Проверка: было 32 и 16, Петя отдал 8 — стало 24 и 24, поровну. Сходится.

Решение

Двузначное число задаётся цифрой десятков d (от 1 до 9, ведь у двузначного числа десятки не могут быть нулём) и цифрой единиц e (от 0 до 9).

Условие: d + e = 10, то есть e = 10 − d. Переберём d от 1 до 9 и проверим, что единица e получается допустимой цифрой.

d = 1 → e = 9 (число 19), d = 2 → e = 8 (28), и так далее до d = 9 → e = 1 (91). Во всех девяти случаях e лежит между 1 и 9 — это верная цифра.

Может ли d = 10? Нет: тогда e = 0, но число 100 уже трёхзначное. Значит больше вариантов нет.

Получаем ровно девять чисел: 19, 28, 37, 46, 55, 64, 73, 82, 91.

Решение

Разберёмся с A. Если бы A был рыцарем, его слова «мы все лжецы» были бы правдой — но тогда лжец и сам A, а он рыцарь. Противоречие. Значит A — лжец.

Раз A лжец, его фраза ложна: неверно, что все трое лжецы. Значит среди троих есть хотя бы один рыцарь, и это кто-то из B или C.

Теперь проверим B. Предположим, что B — лжец. Тогда рыцарь может быть только C, то есть рыцарь ровно один. Но фраза B «ровно один из нас рыцарь» тогда оказывается правдой — а лжец не может сказать правду. Противоречие. Значит B — рыцарь.

Раз B рыцарь, его слова истинны: рыцарь ровно один — это сам B. Следовательно, C — лжец.

Проверка: A — лжец (его «все лжецы» ложно, ведь есть рыцарь B), B — рыцарь (рыцарь действительно ровно один), C — лжец. Всё согласовано.

Решение

Присмотримся к остаткам: 1 при делении на 2, 2 при делении на 3, … Каждый раз до полного делителя не хватает ровно 1 (остаток на единицу меньше делителя).

Значит если к нашему числу n прибавить 1, то n + 1 будет делиться и на 2, и на 3, и на 4, и на 5, и на 6 без остатка.

Наименьшее число, которое делится сразу на 2, 3, 4, 5, 6 — это их наименьшее общее кратное. НОК(2, 3, 4, 5, 6) = 60.

Поэтому наименьшее n + 1 = 60, откуда n = 59.

Проверка: 59 = 2·29 + 1 = 3·19 + 2 = 4·14 + 3 = 5·11 + 4 = 6·9 + 5. Все остатки верные.