Задача 1. Рыночное равновесиемикроэкономика · спрос и предложение
Спрос на товар задан функцией Qd = 100 − 2P, предложение — Qs = 3P − 20, где P — цена. Найдите равновесную цену и равновесный объём.
Решение
В точке равновесия спрос равен предложению: Qd = Qs, то есть 100 − 2P = 3P − 20.
Перенесём слагаемые: 100 + 20 = 3P + 2P, то есть 120 = 5P.
Отсюда равновесная цена P = 24.
Подставим цену в любую из функций. Спрос: Q = 100 − 2·24 = 100 − 48 = 52.
Проверка по предложению: Qs = 3·24 − 20 = 72 − 20 = 52 — совпало, значит цена и объём найдены верно.
Ответ: Равновесная цена P = 24, равновесный объём Q = 52.
Равновесие — это Qd = Qs. Приравняли функции, нашли цену, подставили обратно и обязательно проверили по второй функции.
Задача 2. Ценовая эластичность спросаэластичность · дуговая формула
При цене 40 объём спроса равен 60 единицам, при цене 50 — 50 единицам. Найдите дуговую (по средней точке) ценовую эластичность спроса на этом участке и определите, эластичен ли спрос.
Решение
Дуговая эластичность считается по средним значениям: E = (ΔQ / Qср) : (ΔP / Pср).
Изменение объёма: ΔQ = 50 − 60 = −10; средний объём Qср = (60 + 50)/2 = 55.
Изменение цены: ΔP = 50 − 40 = 10; средняя цена Pср = (40 + 50)/2 = 45.
Подставим: E = (−10/55) : (10/45) = (−10·45) / (55·10) = −450/550 ≈ −0,82.
Модуль эластичности |E| ≈ 0,82 меньше единицы.
Ответ: E ≈ −0,82; спрос неэластичный (|E| < 1).
Дуговая формула использует средние цену и объём — поэтому эластичность не зависит от того, какую точку считать начальной. Если |E| < 1, спрос неэластичный: объём реагирует на цену слабо.
Задача 3. Максимизация прибыли фирмыиздержки · оптимум
Фирма работает на рынке совершенной конкуренции, рыночная цена P = 20. Её издержки заданы функцией TC = Q² + 4Q + 10. При каком объёме выпуска прибыль максимальна и чему она равна?
Решение
На рынке совершенной конкуренции фирма максимизирует прибыль при условии P = MC (цена равна предельным издержкам).
Предельные издержки — производная полных издержек: MC = (TC)′ = 2Q + 4.
Приравниваем к цене: 20 = 2Q + 4, откуда 2Q = 16 и Q = 8.
Это максимум, а не минимум: предельные издержки растут (MC = 2Q + 4 возрастает), значит после точки P = MC прибыль убывает.
Прибыль = выручка − издержки: π = P·Q − TC = 20·8 − (8² + 4·8 + 10) = 160 − (64 + 32 + 10) = 160 − 106 = 54.
Ответ: Прибыль максимальна при Q = 8 и равна 54.
Правило оптимума фирмы-конкурента — P = MC. Предельные издержки берём как производную от TC, находим объём, затем считаем прибыль как выручку минус полные издержки.
